!!!Разрешено только размещения ссылки на эту страницу!!!

Лабораторная работа №2

Оценка точности косвенных измерений удельного сопротивления проводника.

Цель работы:

1. Ознакомится с методами оценки результатов косвенных измерений и расчёта погрешностей.
2. Определить удельное сопротивление провода и интервал погрешности измерения.

Оборудование: установка (FPM-01) для определения удельного сопротивления проволоки, штангенциркуль, микрометр, проволока.

Краткая теория.

В большинстве случаев измеряется не непосредственно интересующая величина Y, а другая X, зависящие друг от друга тем или иным образом. При таких измерениях, называемых косвенными, необходимо также уметь вычислять ошибку измерений.

Первый способ:

1. Величина Y зависит от одной измеряемой величины X.

Y = f(x)

Если Y = f(x), то когда ошибки малы по сравнению с измеряемой величиной, можно записать

(1)

2. Пусть x является некоторой функцией y и z, т.е.

x = f(y,z)

Тогда наилучшее значение при оценке равно

Погрешности косвенных измерений определяют как приращение

функции f(y,z):

(2)

Более точным является выражение:

(3)

Второй способ:

На практике при вычислении погрешностей косвенных измерений удобнее сразу вычислить относительную погрешность по правилу дифференцирования натурального логарифма функции.

Прологарифмируем правую и левую часть функции Y = f(x,z):

ln x = ln y + ln z

Продифференцируем правую и левую часть:

(ln x)`= (ln y)` + (ln z)`

Следовательно,

(4)

Пример вычисления погрешностей при косвенных измерениях удельного

сопротивления проводника.

Пусть электрическое сопротивление участка однородного линейного

проводника: (5)

где R - сопротивление отрезка проводника, L - его длина, S - площадь поперечного сечения, - удельное сопротивление проволоки.

Отсюда:

Для измерения сопротивление с использованием закона Ома собирают электрическую цепь (см.рис.1). Участок цепи АВ - отрезок проволоки, Е - источник тока, А - амперметр, V-вольтметр. Чтобы определить , необходимо измерить электрическое сопротивление R отрезка проволоки АВ, длину этого отрезка и определить площадь сечения S.

Рис. 1

Напряжение U, силу тока I, длину проволоки L и ее диаметр d измеряют соответствующими приборами с определенной точностью

(6)

Порядок выполнения работы:

1. Определить с помощью штангенциркуля диаметр d_i проволоки по всей ее длине в 5 - 6 точках. Рассчитать диаметр проволоки по формуле:

(7)

и определить относительную погрешность

Результат измерений записать в таблицу 1.

2. Выбрать значение участка АВ порядка (0.15м; 0.2м; 0.3м;

0.4м; 0.5м) L₀ и определить , т.е.

и (8)

3. Для участка Li произвести измерение U и I пять раз меняя их значения. Определить погрешность и по классу точности вольтметра и амперметра. Результат измерений записать в таб. 2.

4. Вычислить значения удельного сопротивления по формуле

при данной длине Li.

5. Относительная погрешность определяется как

(9)

- относительная погрешность прямых измерений

Отсюда, (10)

Результат измерений записываем в виде

6. Построить график зависимости от L на миллиметровой бумаге с указанием интервала для при в прямоугольной системе координат.

Таблица 1.

Измерение диаметра проволоки.

d	d₁	d₂	d₃	d₄	d₅	d₆	d_ср	d
Штангенциркуль
Микрометр

Таблица 2:

Измерение напряжений тока для различных L_i

L(м)	U(В)	I(A)	R(Ом)	(Ом*м)	(Ом*м)
0,15




0,2




0,3




0,4




0,5

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. На каких главных предположениях о свойствах случайных погрешностей основан закон нормального распределения Гаусса?

2. Что называется доверительным интервалом? От чего зависит его величина?

3. Как определить доверительный интервал при надежности ?

4. Как определить абсолютную ошибку косвенных измерений через ошибки прямых измерений?

5. Как определить величину относительной ошибки косвенных измерений?

6. На установке возможны две схемы включения амперметра и вольтметра. Какая систематическая погрешность измерения удельного сопротивления для каждой их схем?

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Графическое представление результатов измерений.

Основное достоинство графиков - их наглядность. Посмотрев на график, можно сразу, одним взглядом, определить вид полученной зависимости, получить о ней качественное представление и отметить наличие различных особенностей: максимумов, минимумов, точек перегиба, областей наибольшей и наименьшей скорости изменения, периодичности и т.п. График позволяет также четко судить о

соответствии экспериментальных данных, о той или иной теоретической зависимости и вообще облегчает обработку измерений. При вычерчивании графика руководствуются следующими правилами:

1). Графики строят только на миллиметровой бумаге со специальными координатными сетками (логарифмической, полулогарифмической и др.). Не безразличен ее цвет: наименее утомителен для глаз - желтый, хуже - красный, очень неудобен синий. Менее удобна такая миллиметровка, где не выделены половины сантиметров.

2). Общепринято по оси абсцисс откладывать ту величину, измерения которой являются причиной измерения другой (т.е. по оси абсцисс - аргумент, по оси ординат - функцию). Не следует нарушать этого правила без серьезных оснований.

3). Масштаб графика определяется погрешностью измерения величин отложенных по осям: погрешность должна быть видна на графике, т.е. должна представляться в выбранном масштабе отрезком достаточной длинны, иначе график не отражает всех деталей эксперимента и не может быть использован для графической обработки данных без потери точности. Шкала должна четко читаться, поэтому одна клетка масштабной сетки должна соответствовать удобному числу - 1; 2; 5; 10 единиц изображаемой на графике величины.

Масштабы по обеим осям выбираются независимо друг от друга. Однако следует помнить, что график получается более наглядным, если основная часть кривой имеет наклон, не слишком отличающийся от 45.В этом случае наиболее удобно анализировать форму кривой.

4). Масштаб наносится на оси графика в виде равноотстоящих "круглых" чисел, например 6; 8; 10. Не следует расставлять эти числа слишком густо - достаточно нанести их через 2 или даже через 5 см. Дополнительно указывать масштаб, как это делается на географических картах, не следует. На осях обязательно указываются обозначения и единицы измерения соответствующей величины.

5). На графике приводится только та область изменения измеренных величин, которая была исследована на опыте. Не следует стремиться к тому, чтобы на графике обязательно поместилось начало координат (точка 0,0).

6). Точки должны наноситься на график очень тщательно и аккуратно, чтобы график получился возможно более точным. На график наносятся все полученные в измерениях значения. Если на один и тот же график наносятся различные группы данных (результаты измерения разных величин, полученные в разных условиях или разными авторами и т.п.), то точки, относящиеся к разным группам, должны быть помечены различными символами (кружки, треугольники, звездочки и т.п.), чтобы их нельзя было спутать.

7). Кривую на графике проводят плавно, избегая изломов и перегибов. Кривая должна проходить насколько возможно ближе ковсем нанесенным точкам, но ни в коем случае не следует стремиться провести ее через каждую точку; (точки располагаются по обе стороны от кривой). Излом на кривой можно рисовать только в том случае, если он не может быть объяснен погрешностью измерений и

если при этом на его существование указывает большое число точек; кроме того нужно быть уверенным в отсутствии систематических ошибок (изломы часто появляются, например, когда сначала работают на одной шкале прибора, а потом переходят на другую). Следует помнить, что всякая особенность на кривой (излом, резкое изменение кривизны и пр.) требует либо специального доказательства, либо теоретического обоснования.

Таких методов существует много. Познакомимся вкратце с одним из них - методом наименьших квадратов.

Пусть имеется n экспериментальных точек и известно, что зависимость y = f(x) должна быть линейной: y = ax + b ,где a и b - константы. Пусть ошибки в координате пренебрежимо малы.

Во всех случаях кривая должна быть проведена так, чтобы она не закрывала экспериментальных точек. Результат эксперимента - это точки, а кривая - это только толкование результата (вообще говоря, не всегда однозначное).

Прямую на графике проводят карандашом по линейке (удобна прозрачная линейка, позволяющая видеть все точки). Кривую проводят по экспериментальным точкам от руки. Лекала используются для последующей обводки кривой.

8). Готовый график снабжается заголовком, который должен содержать точное описание того, что показывает график.

Разные группы точек (разные символы) или разные кривые на графике также должны быть объяснены. Эти объяснения приводятся в подписи к графику (внизу листа или на свободном, не занятом кривой, месте на самом графике).

Приложение 1

Удельное сопротивление (при 20С)

Вещество	(Ом*м)	Вещество	(Ом*м)
Алюминий провод	2.7*10^-8	Бензол	10¹⁵...10¹⁶
Вольфрам	5.5*10^-8	Бумага	10¹⁵
Железо чистое	1.0*10^-7	Вода дистилиров.	10⁴
Золото	2.2*10^-8	Дерево, сухое	10⁹...10¹³
Литая сталь	1.3*10^-7	Земля, влажная	10²
Магний	4.4*10^-8	Керосин	10¹⁰...10¹²
Никель	8.7*10^-8	Полиэтилен	10¹⁰...10¹³
Нихром	1.12*10^-6	Слюда	10¹⁴
Олово	1.2*10^-7	Стекло	10¹¹
Ртуть	9.6*10^-7	Фарфор	10¹⁴
Свинец	2.08*10^-7	Янтарь	10¹⁸
Серебро	1.6*10^-8
Цинк	5.9*10^-8

Приложение 2

Метод интерполирующих прямых.

Графический метод дает возможность наглядно представить функциональную зависимость физических величин и, кроме того, отражает погрешности данных, полученных при измерении.

Функция y = f(x) может изображаться прямой или кривой линией, поэтому при построении графика необходимо уяснить вид этой функции и характер ее графика.

В физике наиболее распространена линейная зависимость, которая графически изображается прямой линией.

Для построения графика измеряем на опыте несколько значений величин x и y. Строим соответствующие им точки с указанием их погрешностей, а затем "на глаз" проводим интерполирующую прямую, так чтобы она проходила как можно ближе к точкам. После этого можно определить ее наклон.

Приложение 3

Применение метода оценки результатов измерений

для предварительного анализа точности измерений.

Определяя удельное сопротивление проводника и имея для этого реохорд, амперметр, вольтметр, рулетку, микрометр и аккумуляторы, мы получили следующие результаты:

U=3,0B0,1B I=0,50A0,05A

l=100,0см0,5см d=0,30мм0,01мм

Какая точность измерения удельного сопротивления при этом нами достигнута?

Для вычисления и сначала находим приближенное значение удельного сопротивления проводника:

, , _{откуда,}

а затем границу относительной погрешности по формуле:

Здесь:

, , ,

Анализируя полученные отдельные относительные погрешности определяем, что с наибольшей тщательностью должны быть измерены сила тока и диаметр проволоки. Если измерение длины проволоки производить с погрешностью отсчета в 1см, то упростятся математические вычисления, а точность результата измерения не уменьшится, так как

─── = 1%.

100

Погрешности косвенных измерений зависят от вида функции, определяющей искомую величину, и от погрешностей прямых измерений тех величин, которые входят в эту функцию.

Согласно теории погрешностей, вклад каждой погрешности в общую погрешность результата измерения очень быстро падает с уменьшением величины отдельной погрешности.

Следовательно, если нужно повысить точность измерения конечного результата, то необходимо уменьшить ту погрешность измерения, которая является наибольшей.

Для этого необходимо применить при измерении физической величины, дающей наибольшую погрешность, меру или измерительный прибор большей точности или использовать более совершенный метод измерения.

Правила приближенных вычислений.

Студенты часто вычисляют искомую величину в задаче, выполняя расчеты с учетом пяти, шести, а иногда и более значащих цифр. Следует иметь ввиду, что эта точность иллюзорна.

В окончательном ответе принято указывать не относительную, а абсолютную ошибку.

Если хотя бы одна из величин, в каком-либо сложном выражении задана с точностью до двух значащих цифр (не считая нулей впереди), то нет смысла вести вычисление результата с точностью более чем до двух значащих цифр. Иначе говоря, численное значение результата не должно содержать большего количества цифр, чем в числе, заданном с наименьшей точностью. Для уточнения значения

последней значащей цифры результата нужно вычислить следующую за

ней цифру; если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу.

Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Пример: 0.765 0.76; 0.275 0.28.

Требование это совершенно естественно и очевидно. В самом деле, если мы получили ошибку измерения порядка десятых, то нет смысла в результате указывать сотые и тысячные.

При этом необходимо учитывать, что любое округление чисел ( в том числе и констант )представляет собой систематическую ошибку.

Например, при определении ускорения свободного падения с помощью математического маятника было вычислено, что

= 0.019 м/с _{= 9.823 м/с}

Окончательный результат следует представить так:

Любое число можно записать как произведение степени числа 10 на десятичную дробь, содержащую от 1 до 9 целых единиц.

Примеры: 273 = 2.73*10²; 0.00455 = 4.55*10^-3

Показатель степени числа 10 в этом случае называется порядком величины.

Все цифры, кроме нулей, стоящие впереди числа, называются значащими.

Примеры: в числе 0.0707 - три значащих цифры,

в числе 23.94 - четыре,

в числе 23.940 - пять,

в числе 5700 - четыре.

Запись 5.7*10³ означает, что значащих цифр только две.

Десятичный разряд (порядок) последней значащей цифры результата должен соответствовать порядку первой значащей цифры ошибки.

Пример: 231.74 0.06; это означает, что последний знак результата - 4 - неверен, его ошибка составляет 6 единиц.

Действия над приближенными числами.

Результат действий над приближенными числами есть также приближенное число.

При сложении и вычитании в результате следует сопринять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим количеством десятичных знаков:

1.832 + 5.1 + 14.367 1.82 + 5.1 + 14.37 = 16.29 16.3

При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр:

16.3 * 3.417 16.3 * 3.42 = 55.712 55.7;

55.7 / 2.158 55.7 / 2.16 = 25.787 25.8;

При возведении в степень:

(12,3)² = 151.29 151; 2.938 2.94;

lg2.56 = 1.4082 1.41;

Если при обработке измерении используются табличные величины, или величины, измеренные заранее, то их абсолютная ошибка принимается равной ее предельной величине, т.е. половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе.

Пример: плотность = 7.9 г/см³ , тогда = 0.05 г/см³.